图神经网络
前面几章的数据要么是规整的图像网格，要么是顺序排列的文本。但现实里还有一大类"蜘蛛网"形状的数据：社交网络的好友关系、分子里的化学键、论文之间的引用。这类数据叫图（Graph）。这一章我们学怎么让神经网络"看图"，核心只有一句话：让每个节点打听邻居的消息——消息传递。学完你会看懂图的表示、图卷积的原理，以及图上的三类常见任务。
什么是图？节点、边和邻接矩阵
把一堆节点（node）用边（edge）连起来就是一张图：节点代表人、原子、论文，边代表它们的关系——好友、化学键、引用。图最大的特点是没有固定顺序：重新编号节点，图还是那张图；而像素一打乱图像就毁了，词序一变句子就变味，图却不会。
生活里图无处不在：道路网、分子、社交网络、论文引用网……甚至一张图片也可以看成图——每个像素是一个节点，和周围像素相连，只不过它非常"规整"：每个节点的邻居数量和位置都一样。
怎么把图喂给计算机？最直观的是邻接矩阵（Adjacency Matrix）：一张 $N \times N$ 的表格，$N$ 是节点数，第 $m$ 行第 $n$ 列写 1 表示节点 $m$、$n$ 之间有边，否则写 0：
$$A_{mn} = \begin{cases} 1, & \text{节点 } m \text{ 与 } n \text{ 之间有边} \\ 0, & \text{否则} \end{cases}$$无向图的邻接矩阵是对称的：你是我的朋友，我也是你的朋友。除了结构，节点还常带自己的信息（兴趣、元素种类），叫节点嵌入，拼成矩阵 $X$。于是图 = 结构 $A$ + 信息 $X$，这就是 GNN 的全部输入。
消息传递：GNN 的核心思想
一句话概括图神经网络（GNN）：每个节点都去问一圈邻居"你们是什么情况"，汇总答案，再结合自己，更新自己的表示，这叫消息传递（message passing）。经过一层又一层，节点就慢慢掺进了越来越远的信息。
消息传递就像打听朋友圈的八卦：想知道大家近况，最直接的办法是问一圈直接好友——这是"一步"。如果你的好友把从别人那听来的消息转告你，你就间接知道了朋友的朋友——这是"两步"。传得越远，知道的圈子越大；但每传一步，信息都被"加工"过、也越发模糊。
数学上，节点 $n$ 先收集所有邻居的表示并求和，这叫聚合（aggregation）；其中 $\mathcal{N}(n)$ 是节点 $n$ 的邻居集合，$\mathbf{h}^{(m)}_k$ 是第 $k$ 层邻居 $m$ 的表示：
$$\text{agg}[n,k] = \sum_{m \in \mathcal{N}(n)} \mathbf{h}^{(m)}_k$$然后把"聚合结果 + 自己的表示"一起过线性变换和激活函数，这叫更新（update）：
$$\mathbf{h}^{(n)}_{k+1} = a\left[\beta_k + \Omega_k \mathbf{h}^{(n)}_k + \Omega_k\,\text{agg}[n,k]\right]$$所有节点合在一起写，公式浓缩成一句：邻居特征求和，等价于把嵌入矩阵 $\mathbf{H}_k$ 右乘邻接矩阵 $\mathbf{A}$；想把自己也算进去，就把 $\mathbf{A}$ 换成 $\mathbf{A} + \mathbf{I}$（$\mathbf{I}$ 是单位矩阵）：
$$\mathbf{H}_{k+1} = a\left[\beta_k \mathbf{1}^{\top} + \Omega_k \mathbf{H}_k (\mathbf{A} + \mathbf{I})\right]$$这个式子意思就三个字：邻居求和，加上自己，过一层网络。下面用 NumPy 亲手实现这一步——对一个 4 节点的小图，算一次"邻居 + 自己"的聚合：
import numpy as np
# 一个小图：4 个节点，5 条无向边
edges = [(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 0), (0, 2)]
N = 4
A = np.zeros((N, N)) # 邻接矩阵
for i, j in edges:
A[i, j] = A[j, i] = 1 # 无向图，对称
# 每个节点一个 2 维特征
X = np.array([[1.0, 0.0],
[0.0, 1.0],
[1.0, 1.0],
[0.5, 0.5]])
# 一步消息传递：A + I = "邻居 + 自己"
H1 = X @ (A + np.eye(N))
print("聚合后的新特征（每行一个节点）:")
print(H1.T)跑完你会发现，$H_1$ 的每一列已经是"自己 + 所有直接邻居"的混合特征了。
图卷积：对邻居加权求和
你可能会说：这不就是卷积吗？没错。CNN 里，每个像素的新特征 = 周围固定窗口内像素特征的加权求和；GNN 里，每个节点的新特征 = 邻居特征的聚合再变换。唯一的区别：图像是"规则网格图"，每个像素的邻居都在固定的上下左右位置，卷积核可以按位置设计；而普通图里邻居数量不固定、没有"上""下"之分，只能对邻居一视同仁地聚合。所以反过来说：CNN 是 GNN 在"每个节点邻居个数固定且有固定顺序"这个特例下的版本，GNN 是卷积思想在任意图上的推广——这就是图卷积（GCN）名字的由来。
GNN 还有两个关键性质。第一，每一层在所有节点上共用同一套参数 $\Omega$，就像 CNN 用同一个卷积核扫遍整张图，否则每个节点都要各学一套参数，既浪费又无法泛化。第二，正因为参数共享，节点无论怎么重新编号，结果都"跟着一起重排"（等变性）——GNN 天然尊重"图没有顺序"这个事实。
最后记住一个数层数的小技巧：K 层 GNN，节点表示里恰好包含 K 跳以内的邻居信息。1 层只能看见直接好友，2 层能看到"朋友的朋友"……这和 CNN 的感受野是同一个概念。
图上的三大任务
学会了怎么算节点表示，剩下的问题就是"拿它干什么"。图上的监督学习任务大致分三类：
① 节点分类：给每个节点贴标签，比如根据论文内容与引用关系判断它属于哪个领域。每个节点的最终表示 $\mathbf{h}^{(n)}_K$ 过一层线性变换加 sigmoid，就得到属于类别 1 的概率：
$$\Pr(y^{(n)} = 1 \mid X, A) = \text{sig}\left[\beta_K + \omega_K^{\top} \mathbf{h}^{(n)}_K\right]$$② 边预测：预测两个节点之间"该不该有边"，比如猜两个人会不会成为朋友。把两个节点的表示做点积再过 sigmoid——表示越相似，越可能连边：
$$\Pr(y_{mn} = 1 \mid X, A) = \text{sig}\left[\mathbf{h}^{(m)\top}_K \mathbf{h}^{(n)}_K\right]$$③ 图分类：给整张图贴标签，比如判断一个分子有没有毒。先把所有节点的表示求平均（平均池化），再把平均值映射成一个数：
$$\Pr(y = 1 \mid X, A) = \text{sig}\left[\beta_K + \omega_K^{\top} \left(\frac{1}{N}\sum_{n} \mathbf{h}^{(n)}_K\right)\right]$$三类任务训练时都用前面章节的老熟人：分类用交叉熵，回归用最小二乘。GNN 只是换了一个"提取特征"的模型，损失和优化器照旧。